数学归纳法典型例题

本讲教育信息】

一. 教学内容：

高三复习专题：数学归纳法

二. 教学目的

掌握数学归纳法的原理及应用

三. 教学重点、难点

数学归纳法的原理及应用

四. 知识分析

【知识梳理】

数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n = k（）时命题成立，证明当时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。

数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。

【要点解析】

1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。

用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。

2、运用数学归纳法时易犯的错误

（1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。

（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。

（3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。

【典型例题】

例1. 用数学归纳法证明：时，。

解析：①当时，左边，右边，左边=右边，所以等式成立。

②假设时等式成立，即有，则当时，

，

所以当时，等式也成立。

由①，②可知，对一切等式都成立。

点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由到时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。

（2）在本例证明过程中，（I）考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II）步骤②在由到的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。

本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即

，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。

（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。

例2. 。

解析：（1）当时，左边，右边，命题成立。

（2）假设当时命题成立，即

，

那么当时，

左边

。

上式表明当时命题也成立。

由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。

例3. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式

成立。

解析：①当时，左=，右，左>右，∴不等式成立。

②假设时，不等式成立，即

，

那么当时，

，

∴时，不等式也成立。

由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。

点评：（1）本题证明命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式成立。

（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第①步成立是推理的基础，第②步是推理的依据（即成立，则成立，成立，……，从而断定命题对所有的自然数均成立）。另一方面，第①步中，验证中的未必是1，根据题目要求，有时可为2，3等；第②步中，证明时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上归纳假设。

例4. 若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论。

解析：取，。

令，得，而，

所以取，下面用数学归纳法证明，

，

（1）时，已证结论正确

（2）假设时，

则当时，有

，

因为，

所以，

所以，

即时，结论也成立，

由（1）（2）可知，对一切，

都有，

故a的最大值为25。

例5. 用数学归纳法证明：能被9整除。

解析：方法一：令，

（1）能被9整除。

（2）假设能被9整除，则

∴能被9整除。

由（1）（2）知，对一切，命题均成立。

方法二：（1），原式能被9整除，

（2）若，能被9整除，则时

∴时也能被9整除。

由（1），（2）可知，对任何，能被9整除。

点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。

例6. 求证：能被整除，。

解析：（1）当时，，命题显然成立。

（2）设时，能被整除，

则当时，

。

由归纳假设，上式中的两项均能被整除，

故时命题成立。

由（1）（2）可知，对，命题成立。

例7. 平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成个部分。

解析：①时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立。

②假设时，个圆将平面分成个部分，

当时，

第k+1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k+1个圆将平面分成个部分，即个部分。

故时，命题成立 。

由①，②可知，对命题成立。

点评：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。

例8. 设，是否存在关于自然数n的函数，使等式对于的一切自然数都成立？并证明你的结论。

解析：当时，由，

得，

当时，由，

得，

猜想。

下面用数学归纳法证明：

当时，等式恒成立。

①当时，由上面计算知，等式成立。

②假设成立，

那么当时，

∴当时，等式也成立。

由①②知，对一切的自然数n，等式都成立。

故存在函数，使等式成立。

点评：（1）归纳、猜想时，关键是寻找满足条件的与n的关系式，猜想的关系未必对任意的都满足条件，故需用数学归纳法证明。

（2）通过解答归纳的过程提供了一种思路：可直接解出，即

。

【模拟试题】

1. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成

A. 假设时，命题成立

B. 假设时，命题成立

C. 假设时，命题成立

D. 假设时，命题成立

2. 证明，假设时成立，当1时，左端增加的项数是

A. 1项 B. 项 C. k项 D. 项

3. 记凸k边形的内角和为，则凸边形的内角和（ ）

A. B. C. D.

4. 某个命题与自然数n有关，若时命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时，该命题不成立，那么可推得

A. 当时，该命题不成立

B. 当时，该命题成立

C. 当n=4时，该命题不成立

D. 当n=4时，该命题成立

5. 用数学归纳法证明时，由到时，不等式左边应添加的项是

A. B. C.

D.

6. （5分）在数列中，，且，，2成等差数列（表示数列的前n项和），则，，分别为__________；由此猜想___________。

7. （5分）已知对一切都成立，那么a=_____________，b=_____________，c=_____________。

8. （14分）由下列各式：

，，，，……你能得出怎样的结论？并进行证明。

9. （16分）设数列满足，。

（1）证明：对一切正整数n均成立；

（2）令，判断与的大小，并说明理由。

10. （14分）已知函数，设数列满足，，数列满足，。

（1）用数学归纳法证明

（2）证明：。

11. （16分）（2006年，江西）已知数列满足：，且

。

（1）求数列的通项公式；

（ 2 ）证明：对一切正整数 n ，不等式 恒成立。

【试题答案】

1. B 2. D 3. B 4. C 5. C

6. ，，，

7. ，，

8. 解：对所给各式进行观察比较，注意各不等式左边最后一项的分母特点：，，，，…，猜想为，对应各式右端为。

归纳得一般结论

①当时，结论显然成立。

②假设当时，结论成立，

即成立，

则当时，

，即当时结论也成立。

由①②可知对任意，结论都成立。

9. 解：（1）证明略。

（2）方法一：

，

∴。

方法二：

（由（1）的结论）

=

，

∴。

方法三：

，

故，因此。