一、知识点概述
自从人类发明了计时工具——钟表,人们的生活就离不开它了。钟表上有许许多多的数学问题,常常围绕时针和分针的重合、垂直、成直线或成多少度角来提问。在钟表上关于时针与分针的关系问题,我们把它叫做钟表问题。
二、重点知识归纳及讲解
1、一般说来,钟表盘上一个圆周等分为60格,即是60分的相应的刻度,则钟面上的路程和速度有如下关系:
钟面一圈按“小时”分为12大格,时针每小时走1大格,分针每小时走12大格,它们每小时相差(12-1=)11大格。
钟面一圈按“分”分为60小格,时针每小时走5小格,分针每小时走60小格,它们每小时相差(60-5=)55小格。
2、分针与时针速度的关系:
在同一时间,分针是时针转速的12倍,时针是分针转速的。
3、在钟表问题中,钟面好比一个环形跑道,人们常用行程问题中的“追及”和“相遇”来解决。钟表上分针、时针、秒针的速度是不同的,各指针速度是恒定的。如果将指针所走过的圆心角的度数作为“路程长”,我们就可以计算出各指针的恒定速度来:
时针的速度=30度÷60分=0.5度/分,
分针的速度=360度÷60分=6度/分。
三、难点知识剖析
例1、从5点整开始,再经过多少分钟,时针与分针正好重合。
分析一:
如图所示:钟表上每一大格所对的圆心角为30°,所以5点整时,分针与时针所夹的角为150度(按顺时针方向),150度就相当于追及问题中的“路长”或“追及距离”。“追及距离÷速度差=追及时间”。
解法一:150÷(6-0.5)=27(分)。
分析二:
钟面的一周分为60小格,分针每小时走60小格,每分钟走1小格;时针每小时走5小格,每分钟走小格。每分钟分针比时针多走1-小格。5点整,时针在前,分针在后,两针相距25小格。这就可与追及问题类比:“追及路程”是25小格,“速度差”是,求追及时间。
解法二:25÷(1-)=25÷=25×=27(分)。
分析三:
因为时针1小时走1个字,分针1小时走12个字,所以从5点开始,到分针与时针重合,可以求出所用时间。
解法三:5÷(12-1)=(小时)=27(分)。
答:从5点整开始,再过27分钟,分针与时针重合。
例2、5点钟与6点钟之间,两针什么时刻成直角?
解析:
分针每分钟比时针多走格,5点钟时,分针在时针后25格(5×5=25)。两针成直角时,必须隔周,即15分钟,因此,两针成直角时若分针在时针后15格,两针成直角时分针比时针须多走(25-15=)10格,若分针在时针前15格,两针成直角时分针比时针须多走(25+15=)40格。所以,第一次成直角时需(10÷=)10分钟,即5点10分时成第一次直角;第二次成直角时需(40÷=)43分钟,即5点43分时成第二次直角。
解答:
(5×5-15)÷=10÷=10(分),
即5点10分第一次成直角。
(5×5+15)÷=40÷=43(分),
即5点43分,第二次成直角。
答:时针与分针,第一次成直角是5点10分,第二次成直角时是5点43分。
例3 钟面上5点零8分时,时针与分针的夹角是多少度?
解析:
我们可先求出5点整时针与分针所成的角度,然后减去8分钟分针前进的度数,再加上此时时针前进的度数。
解答:
因为时针每走一格(即1小时)是30度,所以整点钟时的度数应是30度乘钟点数,分针一分钟前进6度,时针一分钟前进0.5度。因此,钟面上5点零8分时,时针与分针的夹角是:30×5-6×8+0.5×8=106(度)。
答:5点零8分时,时针与分针的夹角是106度。
例4、10点过多少分,分针和时针离“10”的距离相等,并且在“10”的两边。
分析一:
如图,从10点整开始考虑。10点整,时针与分针的夹角为10×30=300(度)。这时,如果我们假设时针反向行走,时针与分针相遇的时刻就是本例要求的时刻。
解法一:300÷(6+0.5)=46(分)。
答:
当钟面上是10点46分,也就是分针行走了46分钟时,两针离“10”的距离相等,且在“10”的两边。
分析二:
由于时针与分针离“10”的距离相等,且在“10”的两旁,所以假设从10时起时针沿反时针方向前进,分针沿顺时针方向前进,那么两针相遇的时间即为所求时间。相遇时两针共走了10个字,即50小格。
解法二:
假设时针沿反时针方向前进,分针沿顺时针方向前进,两针做相向运动,分针的速度为“1”,即每分钟走1小格,时针的速度是“”,两针共走了50格,用50÷(1+)=50÷=46(分)。
例5、小兰在下午3点到4点之间,当长、短针重合时,开始做奥数作业,当做完作业时,长短针刚好在一条直线上,小兰做了多少时间的作业?
分析一:此例可先求出小兰开始做作业的时刻,再求做作业的时间。
解法一:
钟面的一周分60小格,分针每分钟走1小格,时针每分钟走小格。3点时,时针与分针相隔15小格,分针要追上时针需用15÷(1-)=16(分),所以3点16分时,时针与分针重合,即小兰在3点16分开始写作业。
写完作业时,分、时针刚好在一条直线上,即两针在3点16分重合后,分针又追及时针,追及路程(超过时针)为30小格,追及时间为30÷(1-)=32(分),所以小兰写作业时用了32分钟。
答:小兰写作业共用了32分钟。
分析二:
此例只要抓住“当长短针刚好在一条直线上”时,作业做完了,此时分针与时针之间的差距必定是30个小格。
解法二:30÷(1- )=30÷ =32 (分).