一、知识点概述

自从人类发明了计时工具——钟表，人们的生活就离不开它了。钟表上有许许多多的数学问题，常常围绕时针和分针的重合、垂直、成直线或成多少度角来提问。在钟表上关于时针与分针的关系问题，我们把它叫做钟表问题。

二、重点知识归纳及讲解

1、一般说来，钟表盘上一个圆周等分为60格，即是60分的相应的刻度，则钟面上的路程和速度有如下关系：

钟面一圈按“小时”分为12大格，时针每小时走1大格，分针每小时走12大格，它们每小时相差（12－1=）11大格。

钟面一圈按“分”分为60小格，时针每小时走5小格，分针每小时走60小格，它们每小时相差（60－5=）55小格。

2、分针与时针速度的关系：

在同一时间，分针是时针转速的12倍，时针是分针转速的。

3、在钟表问题中，钟面好比一个环形跑道，人们常用行程问题中的“追及”和“相遇”来解决。钟表上分针、时针、秒针的速度是不同的，各指针速度是恒定的。如果将指针所走过的圆心角的度数作为“路程长”，我们就可以计算出各指针的恒定速度来：

时针的速度=30度÷60分=0.5度/分，

分针的速度=360度÷60分=6度/分。

三、难点知识剖析

例1、从5点整开始，再经过多少分钟，时针与分针正好重合。

分析一：

如图所示：钟表上每一大格所对的圆心角为30°，所以5点整时，分针与时针所夹的角为150度（按顺时针方向），150度就相当于追及问题中的“路长”或“追及距离”。“追及距离÷速度差＝追及时间”。

解法一：150÷（6－0.5）=27（分）。

分析二：

钟面的一周分为60小格，分针每小时走60小格，每分钟走1小格；时针每小时走5小格，每分钟走小格。每分钟分针比时针多走1－小格。5点整，时针在前，分针在后，两针相距25小格。这就可与追及问题类比：“追及路程”是25小格，“速度差”是，求追及时间。

解法二：25÷（1－）=25÷=25×=27（分）。

分析三：

因为时针1小时走1个字，分针1小时走12个字，所以从5点开始，到分针与时针重合，可以求出所用时间。

解法三：5÷（12－1）=（小时）=27（分）。

答：从5点整开始，再过27分钟，分针与时针重合。

例2、5点钟与6点钟之间，两针什么时刻成直角？

解析：

分针每分钟比时针多走格，5点钟时，分针在时针后25格（5×5=25）。两针成直角时，必须隔周，即15分钟，因此，两针成直角时若分针在时针后15格，两针成直角时分针比时针须多走（25－15=）10格，若分针在时针前15格，两针成直角时分针比时针须多走（25＋15=）40格。所以，第一次成直角时需（10÷=）10分钟，即5点10分时成第一次直角；第二次成直角时需（40÷=）43分钟，即5点43分时成第二次直角。

解答：

（5×5-15）÷=10÷=10（分），

即5点10分第一次成直角。

（5×5＋15）÷=40÷=43（分），

即5点43分，第二次成直角。

答：时针与分针，第一次成直角是5点10分，第二次成直角时是5点43分。

例3 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？

解析：

我们可先求出5点整时针与分针所成的角度，然后减去8分钟分针前进的度数，再加上此时时针前进的度数。

解答：

因为时针每走一格（即1小时）是30度，所以整点钟时的度数应是30度乘钟点数，分针一分钟前进6度，时针一分钟前进0.5度。因此，钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是：30×5－6×8＋0.5×8=106（度）。

答：5点零8分时，时针与分针的夹角是106度。

例4、10点过多少分，分针和时针离“10”的距离相等，并且在“10”的两边。

分析一：

如图，从10点整开始考虑。10点整，时针与分针的夹角为10×30=300（度）。这时，如果我们假设时针反向行走，时针与分针相遇的时刻就是本例要求的时刻。

解法一：300÷（6+0.5）=46（分）。

答：

当钟面上是10点46分，也就是分针行走了46分钟时，两针离“10”的距离相等，且在“10”的两边。

分析二：

由于时针与分针离“10”的距离相等，且在“10”的两旁，所以假设从10时起时针沿反时针方向前进，分针沿顺时针方向前进，那么两针相遇的时间即为所求时间。相遇时两针共走了10个字，即50小格。

解法二：

假设时针沿反时针方向前进，分针沿顺时针方向前进，两针做相向运动，分针的速度为“1”，即每分钟走1小格，时针的速度是“”，两针共走了50格，用50÷（1＋）=50÷=46（分）。

例5、小兰在下午3点到4点之间，当长、短针重合时，开始做奥数作业，当做完作业时，长短针刚好在一条直线上，小兰做了多少时间的作业？

分析一：此例可先求出小兰开始做作业的时刻，再求做作业的时间。

解法一：

钟面的一周分60小格，分针每分钟走1小格，时针每分钟走小格。3点时，时针与分针相隔15小格，分针要追上时针需用15÷（1－）=16（分），所以3点16分时，时针与分针重合，即小兰在3点16分开始写作业。

写完作业时，分、时针刚好在一条直线上，即两针在3点16分重合后，分针又追及时针，追及路程（超过时针）为30小格，追及时间为30÷（1－）=32（分），所以小兰写作业时用了32分钟。

答：小兰写作业共用了32分钟。

分析二：

此例只要抓住“当长短针刚好在一条直线上”时，作业做完了，此时分针与时针之间的差距必定是30个小格。

解法二：30÷（1－ ）=30÷ =32 （分）.